Yazar | Mesaj #18112 22-10-2009 19:35 GMT+2 saat | |||||||
didemSüper Aktif Üye
|
Facebook'ta Paylaş
Tweet
ax² + bx + c = 0 denkleminin &豌 < 0 iken reel kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz. Örneğin, x² + 1 = 0 denkleminin reel kökü yoktur. Çünkü,( x² + 1 = 0 &視 x² = -1 ) karesi –1 olan reel sayı yoktur.
Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız... A. TANIM: a ve b birer reel sayı ve i = Ö-1 olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayına Karmaşık ( Kompleks ) Sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir. C = { z : z = a + bi ; a, b Î R ve Ö-1 = i } dir. ( i = Ö-1 &視 i² = -1 dir.) z = a + bi karmaşık sayısında a ya karmaşık sayının reel ( gerçel ) kısmı, b ye karmaşık sayını imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z) = b şeklinde gösterilir. Örnek: Z1 = 3 + 4i, Z2 = 2 – 3i, Z3 = Ö3 + i, Z4 = 7, Z5 = 10i sayıları birer karmaşık sayıdır. Z1 karmaşık sayısının reel kısmı 3, imajiner kısmı 4 tür. Z2 = 2 - 3i &視 Re(Z2) = 2 ve İm(Z2) = -3, Z3 = Ö3 + i &視 Re(Z3) = Ö3 ve İm(Z3) = 1, Z4 = 7 &視 Re(Z4) = 7 ve İm(Z4) = 0, Z5 = 10i &視 Re(Z5) = 0 ve İm(Z5) = 10 dur. Örnek: x² - 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım. Çözüm: Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir. &豌 = b² - 4ac = ( -2) ² - 4.1.5 = -16 = 16.i² X1,2 = -b ± Ö&豌 = -(-2) ± Ö16i² = 2 ± 4i = 1 ± 2i dir. 2a 2.1 2 Ç = { 1 – 2i, 1 + 2i } dir. B. İ ‘NİN KUVVETLERİ iº = 1, i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i4 = 1, i5 = i, ... Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, -1, - i, değerlerinden birine eşit olmaktadır. Buna göre , n Î N olmak üzere, i4n = 1 i4n + 1 = i i4n + 2 = -1 i4n + 3 = -i dir. Örnek: ( i14 + i15 + 1 ).( i99 + i100 – 1) işleminin sonucunu bulalım. Çözüm: i14 = (i4)3.i2 = 13.(-1) = -1 i15 = (i4)3.i3 = 13.(-i) = -i i99 = (i4)24 .i 3 = 124.(-i) = -i i100 = (i4)25 = 125 = 1 olduğu için, (i24 + i15 + 1).(i99 + i100 – 1) = (-1 – i + 1).(-i + 1 – 1) = (-i) (-i) = i2 = - 1 dir. C. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı eşittir. Z1 = a + bi } olsun. Z1 =Z2 & (a = c ve b = d) dir. Z2 = c + di } Örnek: Z1 = a + 3 + 2bi + 3i Z 2 = 8 + (a + b)i Z1 = Z2 olduğuna göre, b değerini bulalım. Çözüm: Z1= (a + 3) + (2b + 3)i, Z2 = 8 + (a + b)i ve Z1 = Z2 olduğundan, a + 3 = 8 &視 a = 5 2b + 3 = a + b &視 2b + 3 = 5 + b &視 b = 2 dir. Örnek: Z1 = (a + b + 3) + (a – 2)i Z2 = 0 Z1 = Z2 olduğuna göre, a.b değerini bulalım. Çözüm: Z1 = Z2 olduğundan, a – 2 = 0 &視 a =2, a + b + 3 = 0 &視 2 + b + 3 = 0 &視 b = -5 tir. O halde, a.b = 2.(-5) = -10 dur. D. BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ _ Z = a + bi karmaşık sayı ise Z = a – bi sayısına Z karmaşık sayısının eşleniği denir. Örnek: _ 1) Z1 = 4 + 3i sayısının eşleniği Z1 = 4 - 3i, _ 2) Z2 = Ö2 - Ö3i sayısının eşleniği Z2 = Ö2 + Ö3i, _ 3) Z3 = -7i sayısının eşleniği Z3 = 7i, _ 4) Z4 = 12 sayısının eşleniği Z4 = 12, _ 5) Z5 = Ö3 - Ö2 sayısının eşleniği Z5 = Ö3 - Ö2 dir. Örnek: Z = a + bi olmak üzere, _ 3 . Z – 1 = 2(4 – i) olduğuna göre, a + b toplamını bulalım. Çözüm: _ 3 . Z – 1 = 2(4 – i) 3 . (a – bi) – 1 = 8 – 2i 3a – 1 – 3bi = 8 – 2i olduğundan, 3a –1 = 8 ve -3b = -2 dir. 3a – 1 = 8 &視 3a = 9 &視 a = 3 ve -3b = -2 &視 b = 2/3 tür. O halde, a + b = 3 + 2/3 = 11/3 Not: __ 1) Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir ( ( z) = z ) . 2) Reel katsayılı ikinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri Z = m + ni _ karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan Z = m – ni sayısıdır. E. KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM 1) Toplama - Çıkarma Karmaşık sayılar toplanırken ( ya da çıkarılırken ) reel ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır ( ya da çıkarılır ). Z1 = a + bi Z1 + Z2 = ( a + c ) + ( b + di ) &視 Z2 = c + di Z1 – Z2 = ( a – c ) + ( b – di ) Örnek: Z1 = 2 – 10i ve Z2 = 8 + 3i olduğuna göre, Z1 + Z2 = ( 2 – 10i) + ( 8 + 3i )
__________________
|
|||||||